题目
题型:河南省模拟题难度:来源:
(Ⅱ)设f(x)=x2﹣x+1,实数a满足|x﹣a|<1,求证:|f(x)﹣f(a)|<2(|a|+1).
答案
解:(Ⅰ)当x<0时,原不等式可化为﹣2x+x<0,解得x>0,
又∵x<0,∴x不存在.
当时,原不等式可化为﹣2x﹣x<0,解得x>0,
又∵,∴.
当时,原不等式可化为2x﹣1﹣x<1,解得x<2,
又∵,∴.
综上,原不等式的解集为{x|0<x<2}.
(Ⅱ)∵f(x)=x2﹣x+1,实数a满足|x﹣a|<1,
故|f(x)﹣f(a)|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a||x+a﹣1|<|x+a﹣1|
=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|<1+|2a|+1=2(|a|+1).
∴|f(x)﹣f(a)|<2(|a|+1).
核心考点
试题【(Ⅰ)解不等式:|2x﹣1|﹣|x|<1;(Ⅱ)设f(x)=x2﹣x+1,实数a满足|x﹣a|<1,求证:|f(x)﹣f(a)|<2(|a|+1).】;主要考察你对一元二次不等式及其解法等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);
(Ⅱ)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=|x﹣1|+|2x+2|
(1)解不等式f(x)<3;
(2)若不等式f(x)<a的解集为空集,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=|x﹣1|+|2x+2|
(1)解不等式f(x)<3;
(2)若不等式f(x)<a的解集为空集,求实数a的取值范围.
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