题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

设数列{a_n}满足a₁＝t，a₂＝t²，前n项和为S_n，且S_n＋2－(t＋1)S_n＋1＋tSn＝0(n∈N*)．
(1)证明数列{a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
(2)当<t<2时，比较2ⁿ＋2^－n与tⁿ＋t^－n的大小；
(3)若<t<2，b_n＝，求证：

答案

解：(1)证明：由S_n＋2－(t＋1)S_n＋1＋tS_n＝0，得tS_n＋1－tS_n＝S_n＋2－S_n＋1，即a_n＋2＝ta_n＋1，而a₁＝t，a₂＝t²，
∴数列{a_n}是以t为首项，t为公比的等比数列，
∴a_n＝tⁿ.
(2)∵(tⁿ＋t^－n)－(2ⁿ＋2^－n)＝(tⁿ－2ⁿ)[1－()ⁿ]，又<t<2，<1，
则tⁿ－2ⁿ<0且1－()ⁿ>0，
∴(tⁿ－2ⁿ)[1－()ⁿ]<0，
∴tⁿ＋t^－n<2ⁿ＋2^－n.
(3)证明：∵＝(tⁿ＋t^－n)，
∴2(＋＋…＋)<(2＋2²＋…2ⁿ)＋(2^－1＋2^－2＋…＋2^－n)＝2(2ⁿ－1)＋1－2^－n
＝2^n＋1－(1＋2^－n)<2^n＋1－2，
∴＋＋…＋<2ⁿ－