已知函数f（x）=x2+ax+b-3，f（x）的图象恒过点（2，0），则a2+b2的最小值为______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知函数f（x）=x²+ax+b-3，f（x）的图象恒过点（2，0），则a²+b²的最小值为______．

答案

把（2，0）代入二次函数解析式得：
4+2a+b-3=0，即2a+b=-1，解得：b=-1-2a，
则a²+b²=a²+（-1-2a）²=5a²+4a+1=5（a+

）²+

，
所以当a=-

，b=-

时，a²+b²的最小值为

．
故答案为：

．

核心考点

试题【已知函数f（x）=x2+ax+b-3，f（x）的图象恒过点（2，0），则a2+b2的最小值为______．】；主要考察你对均值不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

函数f（x）=1+log_ax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-2=0上，其中mn＞0，则

的最小值为______．

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若实数a，b满足a+2b=2，则3^a+9^b的最小值为______．

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若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是______．

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国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（I）写出v关于w的函数关系式；
（II）若把一颗钻石切割成重量比为1：x（x≥1）的两颗钻石，价值损失的百分率为y，写出y关于x的函数关系式；
（III）试证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=

原有价值-现有价值

原有价值

×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计）

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设x＞1，则函数y=x+

x-1

的最小值______，此时相应x的值为______．

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