题目

题型：不详难度：来源：

设a，b为正实数，下列结论正确的是（　　）
①若a²-b²=1，则a-b＜1；        
②若

1

b

-

1

a

=1，则a-b＜1；
③若|

a

-

b

|=1，则|a-b|＜1；  
④若|a³-b³|=1，则|a-b|＜1．

A．①②

B．②④

C．①③

D．①④

答案

①若a²-b²=1，则a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正确； ②若若

1

b

-

1

a

=1，可取a=7，b=

7

8

，则a-b＞1，∴②错误；
③若若|

a

-

b

|=1，则可取a=9，b=4，而|a-b|=5＞1，∴③错误；
④由|a³-b³|=1，
若a＞b，则a³-b³=1，即a³-1=b³，即（a-1）（a²+1+a）=b³，
∵a²+1+a＞b²，∴a-1＜b，即a-b＜1
若a＜b，则b³-a³=1，即b³-1=a³，即（b-1）（b²+1+b）=a³，
∵b²+1+b＞a²，∴b-1＜a，即b-a＜1
∴|a-b|＜1∴④正确；
所以正确的答案为①④．
故选D．