题目

题型：日照一模难度：来源：

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，满足关系式2S_n=3a_n-3．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式是bn=

1

log3an(log3an+1)

，前n项和为T_n，求证：对于任意的正整数n，总有T_n＜1．

答案

（I）由已知得

2Sn=3an-3 2Sn-1=3an-1-3，n≥2

故2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1
即a_n=3a_n-1，n≥2
故数列a_n为等比数列，且q=3
又当n=1时，2a₁=3a₁-3，∴a₁=3，
∴a_n=3ⁿ，n≥2．
而a₁=1亦适合上式
∴a_n=3ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

所以T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)  +…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1．