题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

n

3

（a_n+2），求数列{b_n}的前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+2，∴a_n+1+2=2（a_n+2）
由此可得数列{a_n+2}构成以a₁+2=3为首项，公比q=2的等比数列
得a_n+2=3•2^n-1，所以a_n=3•2^n-1-2，即为数列{a_n}的通项公式；
（II）∵b_n=

n

3

（a_n+2），
∴b_n=

n

3

•（3•2^n-1），得b_n=n•2^n-1
因此，S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，--------①
两边都乘以2，得
2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，--------②
①-②，得
-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1．