题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和；且Sn =" 2" an -2（n∈N*）；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn= （n∈N*）；
求证：对于任意的正整数n，总有Tn ＜2；
（3）在正数数列{cn}中，设 (cn) n+1 =an+1（n∈N*）；求数列{cn}中的最大项。

答案

（1）因为Sn=2an-2（n∈N*），所以Sn-1=2an-1-2（n≥2，n∈N*）。
二式相减得：an="2" an-2an-1（n≥2，n∈N*），
因为an≠0，所以=2（n≥2，n∈N*），
即数列{ an}是等比数列，
又因为a1=S1，所以a1="2" a1-2，即a1=2，所以an=2n（n∈N*）（4分）
（2）证明：对于任意的正整数n，总有bn==，
所以当n≥2时，Tn=++……+≤1+++……+=1+1-+-+……+-=2-＜2；
当n=1时，T1=1＜2仍成立；
所以，对于任意的正整数n，总有Tn ＜2。（8分）
（3）解：由(cn)n+1=an+1=n+1（n∈N*）
知：lncn=。令f（x）=，
则f′（x）=，因为在区间（0，e）上，f′（x）＞0，在区间（e，+∞）上，f′（x）＜0，
所以在区间（e，+∞）上f（x）为单调递减函数，所以n≥3且n∈N*时，{lncn}是递减数列，
又lnc1＜ lnc2  lnc3＜ lnc2，
所以，数列{lncn}中的最大项为lnc2=ln3，所以{cn}中的最大项为c2=。（12分）

解析

略