题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分12分)
已知点是区域,()内的点，目标函数，的最大值记作.若数列的前项和为，,且点（）在直线上.
（Ⅰ）证明：数列为等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.

答案

解：（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）∴

解析

试题分析：（1）根据当直线过点时，目标函数取得最大值，故
进而得到的关系式，然后利用通项公式与前n项和的关系得到证明。
（2）由（Ⅰ）得，∴，根据通项公式的特点，分组求和得到结论。
解：（Ⅰ）由已知当直线过点时，目标函数取得最大值，故
∴方程为
∵（）在直线上， 
∴ ①
∴ ②
由①-②得，      ∴，
∴
∵，    ∴数列以为首项，为公比的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴
∵，  ∴
∴

点评：解决该试题的关键是分析出线性目标函数的最优解，然后得到，然后得到。