题目

题型：天津高考真题难度：来源：

已知{a_n}是由非负整数组成的数列，满足a₁=0，a₂=3，a_n+1a_n=（a_n-1+2）（a_n-2+2），n=3，4，5，……，
（1）求a₃；
（2）证明a_n=a_n-2+2，n=3，4，5，……；
（3）求{a_n}的通项公式及其前n项和S_n。

答案

解：（1）由题设得，且均为非负整数，所以a₃的可能的值为1、2、5、10，
若a₃=1，则a₄=10，，与题设矛盾；
若a₃=5，则a₄=2，，与题设矛盾；
若a₃=10，则a₄=1，，与题设矛盾；
所以a₃=2；
（2）用数学归纳法证明：
①当，等式成立；
②假设当时等式成立，即，
由题设，
因为，
所以，
也就是说，当n=k+1时，等式成立。
根据①②，对于所有n≥3，有。
（3）由及
得……，
即……，
所以。