题目

题型：江苏省月考题难度：来源：

已知数列{a_n}满足：，a_na_n+1＜0（n≥1），数列{b_n}满足：b_n=a_n+1²﹣a_n²（n≥1）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（2）证明：数列{b_n}中的任意三项不可能成等差数列．

答案

解：（1）由题意可知，
令c_n=1﹣a_n²，则
又，
则数列{c_n}是首项为，公比为的等比数列，
即，
故，
又，a_na_n+1＜0
故
（2）假设数列{b_n}存在三项b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，
由于数列{b_n}是首项为，公比为的等比数列，
于是有2b_s=b_r+b_t成立，则只有可能有2b_r=b_s+b_t成立，
∴，
由于r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．
故数列{b_n}中任意三项不可能成等差数列．