题目

题型：浙江省模拟题难度：来源：

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知 （n∈N*）.
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 ，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n ≥2，都有成立，求m的最大值；

答案

解：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是，所以数列 是公差为1 的等差数列．
又S₁=2a₁-2² ，所以a₁=4 ．
所以 =2+（n-1）=n+1，
故a_n=（n+1）·2ⁿ．
（2）因为b_n=，则
令则
所以。
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．
所以当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=
据题意， ，即m ＜19 ．
又m 为整数， 故m 的最大值为18 ．