题目

题型：四川省高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁为正实数。
（1）用x_n表示x_n+1；
（2）若x₁=4，记，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（3）若x₁=4，b_n=x_n-2，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明T_n＜3。

答案

解：（1）由题可得
所以曲线在点处的切线方程是：
即
令得
即
显然
∴。
（2）由知
同理
故
从而
即
所以数列成等比数列
故
即
从而
所以。
（3）由（2）知
∴
∴
当时，显然
当时，
∴



综上，。