题目

题型：高考真题难度：来源：

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁、lga₂、lga₄成等差数列，又，n=1，2，3，…
（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）如果数列{b_n}前3项的和等于，求数列{a_n}的首项a₁和公差d。

答案

（Ⅰ）证明：设{a_n}中首项为a₁，公差为d，
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差数列，
∴2lga₂=lga₁·lga₄，
∴a₂²=a₁·a₄，即(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)，
∴d=0或d=a₁，
当d=0时，a_n=a₁，，
∴，∴{b_n}为等比数列；
当d=a₁时，a_n=na₁，，
∴，∴{b_n}为等比数列；
综上可知{b_n}为等比数列。
（Ⅱ）当d=0时，，
∴b₁+b₂+b₃=，
∴；
当d=a₁时，，
∴b₁+b₂+b₃=，
∴a₁=3；
综上可知或。