题目

题型：不详难度：来源：

某国由于可耕地面积少，计划从今年起的五年填湖围造一部分生产和生活用地，若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x（亩）的平方成正比，其比例系数为a，设每亩水面的年平均经济效益为b元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c元（其中a，b，c均为常数）．
（1）若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值．
（2）如果填湖造地面积按每年1%的速度减少，为保证水面的畜洪能力和环保要求，填湖造地的总面积不能超过现有水面面积的25%，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几．
注：根据下列近似值进行计算：
0.99²≈0.98，0.99²≈0.97，0.99⁴≈0.96，0.99⁵≈0.95，0.99⁶≈0.94，0.99⁷≈0.93．

答案

（1）收益不小于支出的条件可以表示为cx≥ax²+bx，
所以ax²+（b-c）x≤0，x[ax-（c-b）]≤0．
当c-b≤0，即

c-b

a

≤x≤0时，此时不能填湖造地，
当c-b＞0，即0≤x≤

c-b

a

时，此时所填面积的最大值为

c-b

a

亩；
（2）设该地现在水面m亩，今年填湖造地x亩．
则x+（1-1%）x+（1-1%）²x+（1-1%）³x+（1-1%）⁴x≤0.25m，
即

x(1-0.995)

1-0.99

≤

m

4

，所以x≤

m

20

，
因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的

1

20

．