题目

题型：上海模拟题难度：来源：

已知点P（a1，b1），P2（a2，b2），...，Pn（an，bn）（n为整数）都在函数y=的图像上，且数列{a_n}是a₁=1，公差为d的等差数列。
（1）证明：数列{b_n}是公比为的等比数列；
（2）若公差d=1，以点P_n的横、纵坐标为边长的矩形面积为C_n，求最小的实数t，若使C_n<t（t∈R，t≠0）对一切正整数k恒成立；
（3）对（2）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个3（如在a₁与a₂之间插入2⁰个3，
a₂与a₃之间插入2₁个3，a₃与a₄之间插入2²个3，依此类推），得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列
{d_n}的前n项和，试求S₁₀₀₀。

答案

解：（1）由已知
所以，（常数），
所以数列{b_n}是等比数列；
（2）公差d=1，则，得，
∴

∴数列{}从第二项起随n增大而减小
∴又，则。最小的实数t等于；
（3）∵ ，∴数列中， 从第一项开始到为止（含项）
共有项，
k=10时
k=11时
∴