题目
题型:江苏模拟题难度:来源:
(Ⅰ)若a1=qm,m∈Z,且m≥-l,求证:数列{an}中任意不同的两项之积仍为数列{an}中的项;
(Ⅱ)若数列{an}中任意不同的两项之积仍为数列{an}中的项,求证:存在整数m,且m≥-1,使得a1=qm。
答案
证明:(Ⅰ)设ar,at为等比数列{an}中不同的两项,
由a1=qm,得ar·at=a1qr-1a1qt-1=a1q(r+t+m-1),
又r+t≥3,且m≥-1,所以r+m+t-l≥1,
所以ar、at是数列{an}的第r+m+t-l项。
(Ⅱ)等比数列{an}中任意不同两项之积仍为数列{an}中的项,
令as·at=al(l,t,s∈N*,t≠s),
由as=a1·qs-1,at=a1·qt-1,al=a1·ql-1,得a1·qs-1·a1·qt-1=a1·ql-1,a1=ql-s-t+1,
令整数m=l-s-t+1,则a1=qm,
下证整数m≥-1,
若设整数m<-1,则-m≥2,令k=-m,
由题设,取a1,ak,使a1·ak=ar(r∈N*),
即a1·a1·qk-1=a1·qr-1, 所以qm·q-m-1=qr-1,即q-1=qr-1,
因q>0,q≠1,
故-1=r-1,r=0与r∈N*矛盾!
所以m≥-1。
核心考点
试题【设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且q>0,q≠1,(Ⅰ)若a1=qm,m∈Z,且m≥-l,求证:数列{an}中任意不同的两项之积仍为数列{an}中的项】;主要考察你对等比数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)证明:{rn}为等比数列;
(Ⅱ)设r1=1,求数列的前n项和.
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