题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及数列{a_n}的通项；
（3）记，求数列{b_n}的前n项S_n，并证明S_n+=1。

答案

解：（1）由已知，
∴，
，
∴，
两边取对数得，即，
∴是公比为2的等比数列。
（2）由（1）知，
∴，（*）
∴
，
由（*）式得。
（3），
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴
，
，
∴，
又，
∴。