题目

题型：高考真题难度：来源：

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，a_n+1=S_n（n=1，2，3，…），
证明：(Ⅰ)数列{}是等比数列；
(Ⅱ)S_n+1=4a_n。

答案

证明：（Ⅰ）由a₁=1，a_n+1=S_n（n=1，2，3，…）知a₂=S₁=3a₁，
，
∴，
又a_n+1=S_n+1-S_n(n=1，2，3，…)，
则S_n+1-S_n=S_n(n=1，2，3，…)，
∴nS_n+1=2(n+1)S_n，(n=1，2，3，…)，
故数列{}是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
于是S_n+1=4(n+1)·=4a_n(n≥2)，
又a₂=3S₁=3，
则S₂=a₁+a₂=4=4a₁，
因此对于任意正整数n≥1都有S_n+1=4a_n。