题目

题型：浙江难度：来源：

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁（a₁∈R），且

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对n∈N^*，试比较

1

a2

+

1

a22

+

1

a23

+…+

1

a2n

与

1

a1

的大小．

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可知(

1

a2

)2=

1

a1

×

1

a4

，
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），从而a₁d=d²，
因为d≠0，所以d=a₁，
故a_n=nd=na₁；
（Ⅱ）记T_n=

1

a2

+

1

a22

+…+

1

a2n

，由a₂=2a₁，
所以T_n=

1 a2 (1- 1 a2n )

1- 1 a2

=

1 2a1 (1- 1 (2a1)n )

1- 1 2a1

=

1- 1 (2a1)n

2a1-1

，
从而，当a₁＞1时，T_n＜

1

a1

；当a₁＜1时，T_n＞

1

a1

．