题目

题型：湖北难度：来源：

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，an+1=

2

3

an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a²₂=a₁a₃，即(

2

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λ-3)2=λ(

4

9

λ-4)⇔

4

9

λ2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ⇔9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

2

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a_n-2n+14）
=

2

3

（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-

2

3

b_n
又b₁=-（λ+18），所以
当λ=-18，b_n=0（n∈N⁺），此时{b_n}不是等比数列：
当λ≠-18时，b₁=（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴

bn+1

bn

=-

2

3

（n∈N⁺）．
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

2

3

为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-

2

3

）^n-1，于是可得
S_n=-

n

i=1

i4=

1

5

n4+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，
要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，
即a＜-

3

5

（λ+18）•[1-（-

2

3

）ⁿ]＜b（n∈N⁺）
得

a

1-(- 2 3 )n

＜-

3

5

(λ+18)＜

b

1-(- 2 3 )n

令f(n)=1-(-

2

3

)n，则①
当n为正奇数时，1＜f（n）≤

5

3

；当n为正偶数时，

5

9

≤f(n)＜1，
∴f（n）的最大值为f（1）=

5

3

，f（n）的最小值为f（2）=

5

9

，．
于是，由①式得

5

9

a＜-

3

5

（λ+18）＜

3

5

b⇔-b-18＜λ＜-3a-18．
当a＜b≤3a时，由-b-18≥=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）