题目

题型：不详难度：来源：

为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2009年底，将当地沙漠绿化了40%，从2010年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）.

答案

至少需要4年才能使绿化面积超过50%

解析

设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a₁=，经过n年后绿洲面积为a_n+1，设2009年底沙漠面积为b₁，经过n年后沙漠面积为b_n+1，则a₁+b₁=1，a_n+b_n=1.
依题意a_n+1由两部分组成：一部分是原有绿洲a_n减去被侵蚀的部分8%·a_n的剩余面积92%·a_n，另一部分是新绿化的12%·b_n，所以
a_n+1=92%·a_n+12%(1-a_n)=a_n+,即a_n+1-=(a_n-),
∴是以-为首项，为公比的等比数列，
则a_n+1=-ⁿ,
∵a_n+1＞50%,∴-ⁿ＞,
∴ⁿ﹤,n＞log==3.
则当n≥4时，不等式ⁿ﹤恒成立.
所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.