题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知曲线C：y＝x²(0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取线段OQ的中点A₁，过A₁作x轴的垂线交曲线C于P₁，过P₁作y轴的垂线交RQ于B₁，记a₁为矩形A₁P₁B₁Q的面积．分别取线段OA₁，P₁B₁的中点A₂，A₃，过A₂，A₃分别作x轴的垂线交曲线C于P₂，P₃，过P₂，P₃分别作y轴的垂线交A₁P₁，RB₁于B₂，B₃，记a₂为两个矩形A₂P₂B₂ A₁与矩形A₃P₃B₃B₁的面积之和．以此类推，记a_n为2^n－1个矩形面积之和，从而得数列{a_n}，设这个数列的前n项和为S_n．

(Ｉ)求a₂与a_n；
(Ⅱ)求S_n，并证明S_n＜．

答案

(Ｉ) ，；（Ⅱ）见解析.

解析

试题分析：（Ⅰ）根据题意先写出各点坐标，再分别求，然后总结与曲线交点坐标，从而再求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的表达式，先把变形为差的形式，再求表达式，利用等比数列前项和公式求，然后把与进行比较，即得证.
试题解析：(Ｉ) 由题意知P₁(，)，故a₁＝×＝．
又P₂(，)，P₃(，)，
故a₂＝×[＋－]＝×(1²＋3²－2²)＝．
由题意，对任意的k＝1，2，3，，n，有
(，)，i＝0，1，2，，2^k－1－1，
故a_n＝×[＋－＋－＋＋－]
＝×[1²＋3²－2²＋5²－4²＋…＋(2ⁿ－1)²－(2ⁿ－2)²]
＝×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2^n－1－1)＋1]}
＝×
＝．
所以a₂＝，a_n＝，n∈N*．        10分
(Ⅱ)由(Ｉ)知a_n＝，n∈N*，
故S_n＝－＝－＝．
又对任意的n∈N*，有＞0，
所以S_n＝＜．               14分