题目

题型：不详难度：来源：

在数列中，，若函数，在点处切线过点
(1）求证：数列为等比数列；
(2）求数列的通项公式和前n项和公式.

答案

（1）详见解析；（2）.

解析

试题分析：（1）先求导函数，由导数的几何意义得，再求切线方程，将点代入得数列的递推式，进而利用等比数列定义证明之；（2）求数列的前n项和，关键考察通项公式，根据通项公式的不同形式，选择相应的求和方法，一般情况下有①裂项相消法；②错位相减法；③分组求和法；④奇偶并项求和法，由（1）可得数列的通项公式，可利用分组求和法求和.
试题解析：（1）因为，所以切线的斜率为，切点，切线方程为，∴，又因为过点，所以，即①，，∴，即，所以数列是等比数列，且公比.
（2）由（1）得是公比为，且首项为的等比数列，则，故，所以.