题目

题型：不详难度：来源：

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁＝2，S_n为其前n项和，若5S₁，S₃，3S₂成等差数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n＝log₂a_n，c_n＝，记数列{c_n}的前n项和T_n.若对n∈N^*，T_n≤k(n＋4)恒成立，求实数k的取值范围．

答案

（1）a_n＝2ⁿ（2）

解析

(1)设数列{a_n}的公比为q，∵5S₁，S₃，3S₂成等差数列，
∴2S₃＝5S₁＋3S₂，即2(a₁＋a₁q＋a₁q²)＝5a₁＋3(a₁＋a₁q)，
化简得2q²－q－6＝0，解得q＝2或q＝－.
因为数列{a_n}的各项均为正数，所以q＝－不合题意，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝2ⁿ.
(2)由b_n＝log₂a_n得b_n＝log₂2ⁿ＝n，
则c_n＝＝＝－，
T_n＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.
∵n＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立，
∴≤，因此k≥，故实数k的取值范围为