题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量z（吨）之间的函数关系可近似的表示为：

y= 1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500)

，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．
（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？
（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

答案

（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则S=200x-（

1

2

x2-200x+80000）=-

1

2

(x-400)2
∴当x∈[200，300]时，S＜0
当x=300时，S取最大值-5000；当x=200时，S取最大值-20000
∴国家每月补偿数额的范围是[5000，20000]；
（Ⅱ）由题意可知，二氧化碳的每吨的平均处理成本为

y x = 1 3 x2-80x+5040，x∈[120，144) 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500)

①当x∈[120，144）时，

y

x

=

1

3

(x-120)2+240，∴x=120时，

y

x

取得最小值240；
②当x∈[144，500）时，

y

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x• 80000 x

-200=200
当且仅当

1

2

x=

80000

x

，即x=400时，

y

x

取得最小值200，
∵200＜240
∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．