题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n²(n∈N^*)，等比数列{b_n}满足b₁＝a_1,2b₃＝b₄.
(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
(2)若c_n＝a_n·b_n(n∈N^*)，求数列{c_n}的前n项和T_n.

答案

（1）b_n＝2^n－1(n∈N^*)．（2）(2n－3)×2ⁿ＋3.

解析

(1)∵当n＝1时，a₁＝S₁＝1；
当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝n²－(n－1)²＝2n－1，
∴a_n＝2n－1(n∈N^*)，
∴b₁＝a₁＝1，设等比数列{b_n}的公比为q，则q≠0.
∵2b₃＝b₄，∴2q²＝q³，∴q＝2，
∴b_n＝2^n－1(n∈N^*)．
(2)由(1)可得c_n＝a_n·b_n＝(2n－1)×2^n－1(n∈N^*)，
∴T_n＝1×2⁰＋3×2＋5×2²＋…＋(2n－1)×2^n－1，①
∴2T_n＝1×2＋3×2²＋5×2³＋…＋(2n－1)×2ⁿ，②
②－①得
T_n＝(2n－1)×2ⁿ－(1×2⁰＋2×2＋2×2²＋…＋2×2^n－1)
＝(2n－1)×2ⁿ－(1＋2²＋2³＋…＋2ⁿ)＝(2n－3)×2ⁿ＋3.