题目

题型：不详难度：来源：

已知等比数列{a_n}满足a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式S_n＞ka_n－2对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

答案

（1）a_n＝3·2^n－1，n∈N^*（2）

解析

(1)设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*，∴a₂＋a₁＝9，a₃＋a₂＝18，
∴q＝＝2，∴2a₁＋a₁＝9，∴a₁＝3.∴a_n＝3·2^n－1，n∈N^*.
(2)由(1)知S_n＝＝3(2ⁿ－1)，
∴3(2ⁿ－1)＞k·3·2^n－1－2，∴k＜2－.
令f(n)＝2－，则f(n)随n的增大而增大，
∴f(n)_min＝f(1)＝2－＝.∴k＜.
∴实数k的取值范围为.