题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝ (n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项a_n；
(2)若数列{b_n}满足b_n＝(3ⁿ－1)a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式(－1)ⁿλ＜T_n对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

答案

（1）（2）－1＜λ＜2

解析

(1)由题知，＋1，
∴＋＝3，
∴＋＝·3^n－1＝，∴a_n＝.
(2)由(1)知，b_n＝(3ⁿ－1)·＝n· ^n－1，
T_n＝1×1＋2× ¹＋3× ²＋…＋n· ^n－1，
 T_n＝1×＋2× ²＋…＋(n－1)  ^n－1＋n ⁿ，
两式相减得，
 T_n＝1＋＋＝2－，∴T_n＝4－.
∵T_n＋1－T_n＝＞0，
∴|T_n|为递增数列．
①当n为正奇数时，－λ＜T_n对一切正奇数成立，
∵(T_n)_min＝T₁＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；
②当n为正偶数时，λ＜T_n对一切正偶数成立，
∵(T_n)_min＝T₂＝2，∴λ＜2.
综合①②知，－1＜λ＜2.