题目

题型：不详难度：来源：

(2013·天津高考)已知首项为的等比数列{a_n}的前n项和为S_n(n∈N^*),且-2S₂,S₃,4S₄成等差数列.
(1)求数列{a_n}的通项公式.
(2)证明S_n+≤(n∈N^*).

答案

（1）a_n= (-1)^n-1·.     （2）见解析

解析

(1)设等比数列{a_n}的公比为q,由-2S₂,S₃,4S₄成等差数列,所以S₃+2S₂=4S₄-S₃,S₄-S₃=S₂-S₄,可得2a₄=-a₃,于是q==-.又a₁=,所以等比数列{a_n}的通项公式为a_n=×=(-1)^n-1·.
(2)S_n=1-,S_n+=1-+=
当n为奇数时,S_n+随n的增大而减小,所以S_n+≤S₁+=.
当n为偶数时,S_n+随n的增大而减小,所以S_n+≤S₂+=.
故对于n∈N^*,有S_n+≤.