题目

题型：模拟题难度：来源：

已知函数（a，b，c为常数，a≠0）。
（1）若c=0时，数列{a_n}满足条件：点（n，a_n）在函数的图象上，求{a_n}的前n项和S_n；（2）在（1）的条件下，若a₃=7，S₄=24，p，q∈N⁺（p≠q），证明：。
（3）若c=1时f（x）是奇函数，f（1）=1，数列{x_n}满足x₁=，x_n+1=f（x_n），求证：。

答案

解：（1）依条件有f（x）=ax+b
因为点（n，a_n）在函数f（x）=ax+b的图象上，
所以a_n=f（n）=an+b
因为a_n+1-a_n=a（n+1）+b-（an+b）=a，
所以{a_n}是首项为a₁=a+b，公差为d=a的等差数列
所以
即数列{a_n}的前n项和。
（2）依条件有

即
解得
所以a_n=2n+1
所以S_n=n²+2n
因为

又p≠q，
所以-2（p-q）²＜0，
所以
即。
（3）依条件f（x）=
因为f（x）为奇函数，
所以f（-x）+f（x）=0
即
解得b=0
所以
又f（1）=1，所以a=2
故
因为
所以
因为
所以有（n∈N*）
又
若
则x_n=1
从而x₁=1，这与矛盾
所以
所以（等号不同时成立）
所以
所以


因为
所以
所以
所以