题目

题型：不详难度：来源：

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．数列{b_n}满足an=b1+

b2

2

+

b3

22

+…+

bn

2n-1

 (n∈N *)．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

anan+1an+2

bn+1

，求c_n取得最大值时n的值．

答案

（1）∵{a_n}是一个公差d大于0的等差数列，则a₃+a₆=a₂+a₇．
∴

a3+a6=16 a3a6=55.

解得

a3=5 a6=11.

…（2分）
则3d=a₆-a₃=6，d=2．a₁=1．
∴a_n=2n-1．                                …（4分）
∵an=b1+

b2

2

+

b3

22

+…+

bn

2n-1

(n∈N *)，①
1°当n=1时，b₁=a₁=1；                        …（5分）
2°当n≥2时，an-1=b1+

b2

2

+

b3

22

+…+

bn-1

2n-2

(n ≥ 2，n∈N *)，②
①-②，得

bn

2n-1

=an-an-1=2．
∴bn=2n(n ≥ 2)．                              …（8分）
由1°，2°，得bn=

1，     n=1 2n，   n ≥ 2，n∈N *.

…（9分）
（2）设c_n≤c_n+1，即 

anan+1an+2

bn+1

 ≤ 

an+1an+2an+3

bn+2

．    …（10分）
∵a_n＞0，b_n+2=2b_n+1，∴2a_n≤a_n+3．
即2（2n-1）≤2n+5，∴n ≤ 

7

2

（等号不成立）．      …（12分）
∴c₁˂c₂˂c₃˂c₄，c₄˃c₅˃…．
∴n=4时，c_n最大．                           …（14分）