题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且

（1）求{}的通项公式；(5分)
（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，
求证：.   (7分)

答案

（I）解：由，解得或，由假设，因此，
又由，
得，
即或，因，故不成立，舍去．
因此，从而是公差为，首项为的等差数列，
故的通项为．
（II）证法一：由可解得；
从而．
因此．
令，则．
因，故．
特别地，从而．
即．
证法二：同证法一求得及，
由二项式定理知，当时，不等式成立．
由此不等式有
．
证法三：同证法一求得及．
令，．
因．因此．
从而
．
证法四：同证法一求得及．
下面用数学归纳法证明：．
当时，，，
因此，结论成立．
假设结论当时成立，即．
则当时，



因．故．
从而．这就是说，当时结论也成立．
综上对任何成立．

解析

（I）解：由，解得或，由假设，因此，
又由，
得，
即或，因，故不成立，舍去．
因此，从而是公差为，首项为的等差数列，
故的通项为．
（II）证法一：由可解得；
从而．
因此．
令，则．
因，故．
特别地，从而．
即．
证法二：同证法一求得及，
由二项式定理知，当时，不等式成立．
由此不等式有
．
证法三：同证法一求得及．
令，．
因．因此．
从而
．
证法四：同证法一求得及．
下面用数学归纳法证明：．
当时，，，
因此，结论成立．
假设结论当时成立，即．
则当时，



因．故．
从而．这就是说，当时结论也成立．
综上对任何成立．