题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数
列具有“性质”。
不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同
时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”。
（I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；
（II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；
（III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，
数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”。

答案

（I）证明见解析。
（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，
数列为3，2，1，5，4。
数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
（III）证明见解析。

解析

（I）当时，                                      …………1分
    …………2分
又。                                             …………3分
所以是完全平方数，
数列具有“P性质”                                                                   …………4分
（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，                              …………5分
数列为3，2，1，5，4                                                            …………6分
数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”     …………7分
因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”                             …………8分
（III）设
注意到
令
由于，
所以
又

所以
即                                                                              …………10分
因为当时，数列具有“变换P性质”
所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成
使得都是平方数                                                  …………11分
另外，可以按相反顺序排列，
即排列为
使得
                              …………12分
所以1，2，可以排列成

满足都是平方数.
即当时，数列A也具有“变换P性质”…………13分