题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分15分）已知数列中，，（n∈N*），
  （1）试证数列是等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）在数列{}中，是否存在连续三项成等差数列的项，若存在，求出所有这样的项，若不存在，说明理由．

答案

（1）（2）当且仅当k＝3时，b_k－1，b_k，b_k＋1成等差数列

解析

解：（1）证明: 由，得a_n＋1＝2ⁿ—a_n，
∴,
∴数列是首项为,公比为的等比数列．………………4分
∴ , 即，
∴………………………………………………………………………7分
（2）解：假设在数列{b_n}中，存在连续三项b_k－1，b_k，b_k＋1（k∈N*, k≥2）成等差数列，则b_k－1＋b_k＋1＝2b_k，即，
即＝4……………………………………………………………10分
若k为偶数，则＞0，4＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得
    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差数列。………………………………………………………13分
②若k为奇数，则k≥3，∴≥4，而4＝4，
所以，当且仅当k＝3时，b_k－1，b_k，b_k＋1成等差数列．