题目

题型：不详难度：来源：

．（本小题满分14分）
已知数列的相邻两项是关于的方程 的两实根，且，记数列的前项和为.
（1）求；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设，问是否存在常数，使得对都成立，若存在，
求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

答案

(1)，
(2)略
(3)

解析

解：（1）证明：因为，是关于的方程的两实根，
所以.                                         …………1分
又因为，所以，，.                        …………3分（2）    ………… 6分
故数列是首项为，公比为的等比数列. ………… 7分
（3）由（2）得，
即,
                                          …………9分
又，
要使，对都成立，
即（*）………10分
①当为正奇数时，由（*）式得：
,
即,
对任意正奇数都成立，
故为正奇数）的最小值为1.
                                                …………12分
②当为正偶数时，由（*）式得：
，
即，
对任意正偶数都成立，
故为正偶数）的最小值为
                                               …………13分
综上所述得，存在常数，使得对都成立，
的取值范围为.                                   …………14分