题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1(n≥2且n∈N^*).
(Ⅰ)证明：数列为等差数列；
(Ⅱ)求数列{ a_n-1}的前n项和S_n

答案

（1）数列为首项是2公差是1的等差数列.
（2）S_n=n·2ⁿ⁺¹

解析

(1)根据等差数列的定义是定值即可.
(2)在第（I）问的基本上求出的通项公式，进而求出{ a_n-1}的通项公式,然后根据数列求和的方法求值即可。
解：(Ⅰ)设b_n=, b₁==2     ……………………………………………1分
b_n+1- b_n= …4分
所以数列为首项是2公差是1的等差数列.     …………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
∴a_n-1=(n+1)·2ⁿ         …………………………7分
∵S_n=2·2¹+3·2²+…+n·2^n-1+(n+1)·2ⁿ        ①
∴2S_n=2·2²+3·2³+…+ n·2ⁿ+(n+1)·2ⁿ⁺¹            ②……………………9分
①—②，得 - S_n=4+（2²+2³+…+2ⁿ）-(n+1)·2ⁿ⁺¹
∴S_n=-4-4（2ⁿ⁺¹-1）+(n+1)·2ⁿ⁺¹  
∴S_n=n·2ⁿ⁺¹