题目
题型:不详难度:来源:
(1)求数列的通项公式;
(2)若不等式对任意恒成立,试猜想出实数的最小值,并证明.
答案
解析
由题意可知,即,解得d,得到通项公式,第二问中,不等式等价于,利用当时,;当时,;而,所以猜想,的最小值为然后加以证明即可。
解:(1)设数列公差为,由题意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等价于,
当时,;当时,;
而,所以猜想,的最小值为. …………8分
下证不等式对任意恒成立.
方法一:数学归纳法.
当时,,成立.
假设当时,不等式成立,
当时,, …………10分
只要证 ,只要证 ,
只要证 ,只要证 ,
只要证 ,显然成立.所以,对任意,不等式恒成立.…14分
方法二:单调性证明.
要证
只要证 ,
设数列的通项公式, …………10分
, …………12分
所以对,都有,可知数列为单调递减数列.
而,所以恒成立,
故的最小值为.
核心考点
举一反三
A. | B. | C.5 | D. |
A.49 | B.50 | C.99 | D.100 |
A. | B. | C. | D. |
有
(Ⅰ)求证:对一切
(Ⅱ)求数列通项公式.
(Ⅲ)求证:
A. | B. | C. | D. |
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