题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分16分）
设数列的前项和为，已知（）．
（1）求的值；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第项，……，余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前项的和为，求证：．

答案

（1）
（2）见解析
（3）见解析

解析

（1）令n=1和n=2求出数列的前2项；（2）利用已知式子构造递推式子，作差得出关于的递推式，然后根据等比数列的概念求出数列的通项；（3）先根据数列的前N项和知识求出，然后利用放缩思想求出的范围
解：（1）
（2），①
当时，。②
由①-②，得
所以，

是以4为首项，2为公比的等比数列。
（3）由（2）得，
抽去数列中得第1项、第4项、第7项、…、第项得到数列为为
，它的奇数项组成一个以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项组成一个以8为首项，8为公比的等比数列。
所以当时





。
当时





。
综上,