题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=n²[1+++…+] （n≥2，n∈N）
（1）当n≥2时，求证：=
（2）求证：（1+）（1+）…（1+）<4

答案

（1）利用
得到。
（2）当时，

 
验证，当时， ，综上所述，对任意，不等式都成立．

解析

试题分析：（1）当时， ……………………1分
所以…………………4分
故 …………………………………………………………5分
（2）当时，……6分
……8分
……10分
 ………………………11分
当时， ……………………………………………………………12分
综上所述，对任意，不等式都成立．……………………………………13分
点评：中档题，涉及数列的不等式证明问题，往往需要先求和、再证明。本题（2）利用“裂项相消法”求得“数列的和”，利用放缩法，达到证明目的。易错忽视n=1的验证。