题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)证明对每一个,存在唯一的,满足;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的构成数列,判断数列的单调性并证明;
(Ⅲ)对任意,满足(Ⅰ),试比较与的大小.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)证明对每一个,存在唯一的,满足,只需证明两点,第一证在上为单调函数,第二证,在区间的端点的函数值异号,本题是高次函数,可用导数法判断单调性,而判断的符号是,可用放缩法;(Ⅱ)由(Ⅰ)中的构成数列,判断数列的单调性,由(Ⅰ)知在上递增,只需比较的大小,由(Ⅰ)知,故,而,从而得到,而,所以,这样就可判断数列的单调性;(Ⅲ)对任意,满足(Ⅰ),试比较与的大小,由(Ⅱ)知数列单调递减,故,即比较与的大小,由(Ⅰ)知,写出与的式子,两式作差即可.本题函数与数列结合出题,体现学科知识交汇点的灵活运用,的确是一个好题,起到把关题的作用.
试题解析:(Ⅰ) ,显然,当时,,故在上递增,又,,故存在唯一的,满足 ;
(Ⅱ)因为,所以,,由(Ⅰ)知在上递增,故,即数列单调递减;
(Ⅲ) 由(Ⅱ)数列单调递减,故,而, ,两式相减:并结合,以及, ,所以有 .
核心考点
举一反三
(Ⅰ)求的通项公式及前项和;
(Ⅱ)已知是等差数列,为前项和,且,.求的通项公式,并证明:.
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C.2 | D. |
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前项的和 .
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