题目

题型：不详难度：来源：

已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足,．数列满足,， 为数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）
（2）．          ……9分
（3） 存在       

解析

试题分析：(1)由可令n=1,n=2得到关于a₁与d的两个方程，从而可解出a₁和d,得到a_n的通项公式.因为,所以显然要采用裂项求和的方法求出其前n项和.
(2)因为本小题是关于n的不等式恒成立问题，应对n的奇偶进行讨论.分别再对得到的结果求交集.
（3）解本小题的关键由，
若成等比数列，则，即．
从而得,据此得到m的范围，找到m的值，进一步得到n的值.
解：（1）在中，令，，
得  即     ……1分
解得，，                ……2分
又时，满足，
，    ……3分
．  ……4分
（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   ……5分
，等号在时取得
此时需满足                      ……6分
②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．    ……7分
是随的增大而增大，时取得最小值．
此时需满足．          ……8分
综合①、②可得的取值范围是．          ……9分
（3），
若成等比数列，则，……10分
即．                         
由，可得， ……12分
即，
．          ……13分     
又，且，所以，此时．
因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．    …14分
[另解] 因为，故，即，
．
点评：（1）由a_n与S_n的关系求通项要注意根据需要给n赋值，每赋一个值就可得到一个方程.
（2）有关n的不等式恒成立问题，要注意题目当中如果有要注意按n为奇偶进行讨论.
（3）解小题的关键是利用成等比数列,建立n与m的等式关系，下一步难点在于对式子的变形处理上，要注意体会其方法.