题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)是否存在常数a,使得成等差数列?若存在,求出a,若不存在,说明理由;
(Ⅲ)是否存在,满足对任意自然数时,恒成立,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)由条件可得数列隔项成等差数列,从而分别得到n为奇数和偶数时的通项公式,合并即得数列的通项公式.再由数列前n项的积为,由再验证时的情况,即可得到的通项公式;(Ⅱ)先求出的表达式,再假设成等差数列,由等差中项的知识,,代入发现等式恒不成立,从而得到不存在常数a 使数列成等差数列的结论;(Ⅲ)由上问可知即证明存在,满足对任意自然数时,,易知存在m=4使得当时,恒成立.接着用数学归纳法证明之.
试题解析:(Ⅰ)由题知,∴,∴
即数列隔项成等差数列, 1分
又
∴当n为奇数时,,
当n为偶数时, 2分
∴对一切 3分
又,当时,且时满足上式,
∴对一切 5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列成等差数列,∴
∴ 7分
若存在常数a,使得成等差数列,则在时恒成立
即
∴不存在常数a 使数列成等差数列 9分
(Ⅲ)存在使得当时,恒成立,
即当时,,下面用用数学归纳法证明:
①当时,.
②假设时,成立,即.
则当,,所以时,成立.
综合①②得,成立.所以当时,. 13分
核心考点
试题【已知数列满足:是数列的前n项和.数列前n项的积为,且(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)是否存在常数a,使得成等差数列?若存在,求出a,若不存在,说明理由;(Ⅲ)是】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.1 | B.9 | C.10 | D.55 |
(1)求数列的通项公式;
(2)在和之间插入个数,使这个数组成公差为的等差数列,令,试证明.
(1)求;
(2)设为数列的前项和,,,求.
A.6 | B.5 | C.4 | D.3 |
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