题目

题型：不详难度：来源：

设是数列的前项和，对任意都有成立， (其中、、是常数)．
（1）当，，时，求；
（2）当，，时，
①若，，求数列的通项公式；
②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”.
如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有
，且．若存在，求数列的首项的所
有取值构成的集合；若不存在，说明理由．

答案

(1)=；(2)①；②存在，首项的所有取值构成的集合为.

解析

试题分析：(1)要求，大多数时候要先求，本题实质就是有关系式，那么我们可以用代得，两式相减，可得出与的关系，本题正好得到数列是等比数列，故易求得和；(2) 实质上的关系式是，这让我们联想到数列是等差数列，这里难点就在于证明是等差数列，证明方法是把等式中的用换得到一个式子，两式相减可得，此式中含有常数，故再一次用代换此式中的，两式相减可消去得数列的连续三项的关系，可证得是等差数列，那么这里①的通项公式易求；对于②这类问题总是假设存在，然后去求，假设存在时，可知数列公差是2，即，由于它是“数列”，故任意两项和还是数列中的项，即，可得是偶数，又由，得，娵，从而，下面对的值一一验证是否符合已知条件，
试题解析：（1）当，，时，由得
                      ①
用去代得，，   ②
②—①得，，，
在①中令得，，则0，∴，
∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴=
（2）当，，时，
，                          ③
用去代得，， ④
④—③得，      ，     ⑤
用去代得，，      ⑥
⑥—⑤得，，即，
∴数列是等差数列.∵，，
∴公差，∴
易知数列是等差数列，∵，∴.
又是“数列”，得：对任意，必存在使
，
得，故是偶数，
又由已知，，故
一方面，当时，，对任意，
都有
另一方面，当时，，，
则，
取，则，不合题意.
当时，，，则
，
当时，，，
，
又，∴或或或
所以，首项的所有取值构成的集合为
（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）与的关系，求和；(2)等差数列的通项公式，前项和.