题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若数列的通项为,证明:数列为“数列”;
(Ⅱ)若数列的各项均为正整数,且数列为“数列”,证明:对任意,;
(Ⅲ)若数列的各项均为正整数,且数列为“数列”,证明:存在,数列为等差数列.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)用作差法证,用单调性证。(Ⅱ)用反证法证明。即假设存在正整数,使得。根据和结合放缩法推倒论证得出与已知各项均为正整数相矛盾,则说明假设不成立即原命题成立。(Ⅲ)由(Ⅱ)知,需分和两种情况讨论,结合已知推理论证,根据等差的定义可证得存在 ,数列为等差数列.本题的关键是当可变形得,再用累加法表示,即,根据进行推理论证。
试题解析:(Ⅰ)证明:由,可得,,
所以,
所以对任意,.
又数列为递减数列,所以对任意,.
所以数列为“数列”. 5分
(Ⅱ)证明:假设存在正整数,使得.
由数列的各项均为正整数,可得.
由,可得.
且.
同理,
依此类推,可得,对任意,有.
因为为正整数,设,则.
在中,设,则.
与数列的各项均为正整数矛盾.
所以,对任意,. 10分
(Ⅲ)因为数列为“数列”,
所以,存在常数,对任意,.
设.
由(Ⅱ)可知,对任意,,
则.
若,则;若,则.
而时,有.
所以,,,,中最多有个大于或等于,
否则与矛盾.
所以,存在,对任意的,有.
所以,对任意,.
所以,存在,数列为等差数列. 14分
核心考点
试题【若无穷数列满足:①对任意,;②存在常数,对任意,,则称数列为“数列”.(Ⅰ)若数列的通项为,证明:数列为“数列”;(Ⅱ)若数列的各项均为正整数,且数列为“数列”】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足:…,求{bn}的前n项和.
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)求数列、的通项公式;
(Ⅲ)记,证明:对一切正整数,有.
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