题目

题型：不详难度：来源：

定义：数列{a_n}对一切正整数n均满足

an+an+2

2

＞an+1，称数列{a_n}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：
（1）等差数列{a_n}一定是凸数列
（2）首项a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a_n}一定是凸数列
（3）若数列{a_n}为凸数列，则数列{a_n+1-a_n}是单调递增数列
（4）凸数列{a_n}为单调递增数列的充要条件是存在n₀∈N^*，使得an0+1＞an0
其中正确说法的个数是______．

答案

（1）由等差数列{a_n}的性质可得：

an+an+2

2

=an+1，不满足

an+an+2

2

＞an+1，因此不是“凸数列”．
（2）∵首项a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a_n}，
∴an=a1qn-1＞0．
∴

an+an+2

2

=

an+anq2

2

=an•

1+q2

2

＞a_nq=a_n+1．因此是“凸数列”．故正确．
（3）∵数列{a_n}为凸数列，∴数列{a_n}对一切正整数n均满足

an+an+2

2

＞an+1，
∴a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，
∴数列{a_n+1-a_n}是单调递增数列．因此正确．
（4）①凸数列{a_n}为单调递增数列可得对于任意的n₀∈N^*，都有an0+1＞an0；
②对于凸数列{a_n}存在n₀∈N^*，使得an0+1＞an0．
则an0+2-an0+1＞2an0+1-an0-an0+1=an0+1-an0＞0．
如果n₀＞1，则此数列不一定是递增数列．
因此（4）不正确．
综上可知：只有（2）（3）正确．
故答案为：2．