题目

题型：不详难度：来源：

已知是正数组成的数列，，且点在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若列数满足,，求证：

答案

解法一：（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+1、即a_n+1-a_n=1，又a₁=1,
所以数列｛a_n｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故a_n=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a_n=n从而b_n+1-b_n=2ⁿ.
b_n=(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+···+（b₂-b₁）+b₁=2^n-1+2^n-2+···+2+1＝=2ⁿ-1.
因为b_n·b_n+2-b=(2ⁿ-1)(2ⁿ⁺²-1)-(2^n-1-1)²=(2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1)-(2²ⁿ⁺²-2-2ⁿ⁺¹-1)=-5·2ⁿ+4·2ⁿ=-2ⁿ＜0,
所以b_n·b_n+2＜b,
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b₂=1,
b_n·b_n+2- b=(b_n+1-2ⁿ)(b_n+1+2ⁿ⁺¹)- b=2ⁿ⁺¹·b_n-1-2ⁿ·b_n+1-2ⁿ·2ⁿ⁺¹＝2ⁿ（b_n+1-2ⁿ⁺¹）=2ⁿ（b_n+2ⁿ-2ⁿ⁺¹）
=2ⁿ（b_n-2ⁿ）=…=2ⁿ（b₁-2）=-2ⁿ〈0，所以b_n-b_n+2<b²_n+1

解析

略