题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosx，sinx），c=(sinx+2sinα，cosx+2cosα)，其中0＜α＜x＜π，
(Ⅰ)若α=，求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值；
(Ⅱ)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．

答案

解：(Ⅰ)∵b=(cosx，sinx)，c=(sinx+2sinα，cosx+2cosα)，a=，
f∴(x)=b·c=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+(sinx+cosx)，
令，
则，且，
则，
∴时，，此时，，
由于，
故。
所以函数f（x）的最小值为，相应x的值为。
(Ⅱ)∵a与b的夹角为，
∴，
∵0＜α＜x＜π，
∴，∴，
∵a⊥c，
∴，
∴，
∴，∴。