题目

题型：福建难度：来源：

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜

π

2

（I）若cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0，求φ的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π

3

，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．

答案

（I）由cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0得cos

π

4

cosφ-sin

π

4

sinφ=0
即cos(

π

4

+φ)=0又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

（Ⅱ）解法一：由（I）得，f(x)=sin(ωx+

π

4

)依题意，

T

2

=

π

3

又T=

2π

ω

，故ω=3，∴f(x)=sin(3x+

π

4

)
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+

π

4

]g（x）是偶函数当且仅当3m+

π

4

=kπ+

π

2

(k∈Z)即m=

kπ

3

+

π

12

(k∈Z)从而，最小正实数m=

π

12

解法二：由（I）得，f(x)=sin(ωx+

π

4

)，依题意，

T

2

=

π

3

又T=

2π

ω

，故ω=3，∴f(x)=sin(3x+

π

4

)
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+

π

4

]，g（x）是偶函数当且仅当g（-x）=g（x）对x∈R恒成立
亦即sin(-3x+3m+

π

4

)=sin(3x+3m+

π

4

)对x∈R恒成立．∴sin(-3x)cos(3m+

π

4

)+cos(-3x)sin(3m+

π

4

)=sin3xcos(3m+

π

4

)+cos3xsin(3m+

π

4

)
即2sin3xcos(3m+

π

4

)=0对x∈R恒成立．∴cos(3m+

π

4

)=0
故3m+

π

4

=kπ+

π

2

(k∈Z)∴m=

kπ

3

+

π

12

(k∈Z)从而，最小正实数m=

π

12