题目

题型：不详难度：来源：

定义在D上的函数，如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数．
（1）试判断函数f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在实数集R上，函数g(x)=x3+

3

x

在[

1

3

，3]上是不是有界函数？若是，请给出证明；若不是，请说出理由．
（2）若已知某质点的运动距离S与时间t的关系为S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，要使在t∈[

1

3

，3]上每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于13，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵函数f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在R上的最大值为5，最小值为-1，
存在常数M=5，对任意x∈R都有|f（x）|≤M，∴f（x）在R上是有界函数．
∵g(x)=x3+

3

x

，x∈[1，3]，∴g/(x)=3x2-

3

x2

，
由g/(x)=3x2-

3

x2

=0，得x=1或x=-1
所以g（x）在[

1

3

，1]上单调递减，g（x）在[1，3]上单调递增，而g(3)＞g(

1

3

)
∴g（x）在[

1

3

，3]上的最大值为g（3）=28，最小值为g（1）=4
所以存在常数M=28，对任意x∈[

1

3

，3]都有|g（x）|≤M，∴g（x）是[

1

3

，3]上是有界函数．
（2）因为运动方程为S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，所以瞬时速度V(t)=S/(t)=t3+

3

t

-a
由当t∈[

1

3

，3]时，|V（t）|≤13恒成立，即|t3+

3

t

-a|≤13对t∈[

1

3

，3]恒成立
即

a≥t3+ 3 t -13 a≤t3+ 3 t +13

对t∈[

1

3

，3]恒成立，由（1）可得15≤a≤17
所以实数a的取值范围[15，17]