题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

=(sin

x

3

，

3

cos

x

3

)，

b

=(1，1)，函数f(x)=

a

•

b

cos

x

3

．
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其图象的对称中心；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f（x）的值域．

答案

（1）f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

（1+cos

2x

3

）
=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

，
令sin（

2x

3

+

π

3

）=0，即

2x

3

+

π

3

=kπ（k∈Z），解得x=

3k-1

2

π（k∈Z），
则对称中心为（

3k-1

2

π，

3

2

）（k∈Z）；
（2）∵b²=ac，
∴根据余弦定理得：cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cosx＜1，即0＜x≤

π

3

，
∴

π

3

＜

2x

3

+

π

3

≤

5π

9

，
∵|

π

3

-

π

2

|＞|

5π

9

-

π

2

|，
∴sin

π

3

＜sin（

2x

3

+

π

3

）≤1，
∴

3

＜sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

≤1+

3

2

，
则x∈（0，

π

3

]时，函数f（x）的值域为（

3

，1+

3

2

]．